Gerak Harmonik Sederhana (GHS)

Dalam kehidupan sehari-hari, banyak benda yang bergerak bolak-balik secara teratur — ayunan jam, pegas yang ditarik, hingga molekul yang bergetar dalam zat padat. Gerak seperti ini disebut Gerak Harmonik Sederhana (GHS), dan menjadi fondasi penting dalam memahami gelombang, bunyi, dan bahkan fenomena kuantum.

Secara definisi, Gerak Harmonik Sederhana (GHS) adalah gerakan osilasi yang berulang secara periodik dengan percepatan yang arahnya selalu menuju titik setimbang, dan besarnya sebanding dengan simpangan dari titik setimbang tersebut.

1. Persamaan Posisi GHS

Sama seperti gerak benda lainnya, GHS dapat dideskripsikan secara matematis. Fungsi yang paling tepat untuk menggambarkan gerak bolak-balik ini adalah fungsi trigonometri (sinus atau kosinus). Persamaan posisi (\(x\)) GHS pada saat waktu \(t\) dirumuskan sebagai:

\[ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \]

Keterangan Variabel:

\(x(t)\): Posisi / simpangan partikel terhadap titik setimbang (\(\text{m}\))
\(A\): Amplitudo / simpangan maksimum (\(\text{m}\))
\(\omega\): Kecepatan sudut / frekuensi sudut (\(\text{rad/s}\)), di mana \(\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}\)
\(\phi\): Sudut fase awal (\(\text{rad}\))
\(t\): Waktu tempuh (\(\text{s}\))

Contoh Soal 1: Analisis Persamaan Posisi

Sebuah partikel melakukan gerak harmonik sederhana dengan persamaan posisi: \[ x(t) = 0{,}05 \cos\left(4\pi t + \frac{\pi}{3}\right) \, \text{meter} \] Tentukanlah:

Amplitudo gerak
Frekuensi sudut (\(\omega\))
Frekuensi dan periode osilasi
Posisi partikel pada saat \(t = 0\)

Penyelesaian:
Bandingkan dengan rumus standar \(x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\), maka diperoleh data:

\(A = 0{,}05 \, \text{m}\)
\(\omega = 4\pi \, \text{rad/s}\)
\(\phi = \frac{\pi}{3} \, \text{rad}\) (setara \(60^\circ\))

Menghitung Frekuensi (\(f\)): \[ f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{4\pi}{2\pi} = 2 \, \text{Hz} \] Menghitung Periode (\(T\)): \[ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{2} = 0{,}5 \, \text{s} \] Menghitung Posisi saat \(t = 0\): \[ x(0) = 0{,}05 \cos\left(4\pi(0) + \frac{\pi}{3}\right) \] \[ x(0) = 0{,}05 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \] Karena \(\cos(\frac{\pi}{3}) = \cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\): \[ x(0) = 0{,}05 \times 0{,}5 = 0{,}025 \, \text{m} \]

Kecepatan dan Percepatan dalam GHS

Dengan memahami parameter-parameter dalam persamaan posisi, kita dapat menganalisis gerak osilasi secara lengkap. Ingatlah prinsip dasar kinematika: Kecepatan adalah turunan pertama posisi, dan Percepatan adalah turunan kedua posisi terhadap waktu.

2. Kecepatan dalam GHS (\(v\))

Turunkan persamaan posisi \(x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\) terhadap waktu (\(t\)), maka kita dapatkan persamaan kecepatan:

\[ v(t) = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \phi) \]

Kecepatan maksimum terjadi saat melintasi titik setimbang: \[ v_{\text{maks}} = A \omega \]

(Kecepatan bernilai NOL saat partikel berada di ujung simpangan terjauh, dan bernilai MAKSIMUM saat melesat melewati titik setimbangnya).

3. Percepatan dalam GHS (\(a\))

Turunkan persamaan kecepatan terhadap waktu, maka kita dapatkan persamaan percepatan:

\[ a(t) = \frac{dv}{dt} = -A \omega^2 \cos(\omega t + \phi) \]

Karena \(x(t) = A \cos(\omega t + \phi)\), rumus di atas bisa disingkat menjadi: \[ a(t) = -\omega^2 \cdot x(t) \]

Persamaan singkat \(a(t) = -\omega^2 x(t)\) ini sangat penting karena membuktikan syarat utama GHS: "Percepatan sebanding dengan simpangan (\(x\)) dan arahnya selalu berlawanan (tanda minus) untuk menarik partikel kembali ke titik setimbang."

Contoh Soal 2: Menghitung Kecepatan & Percepatan Sesaat

Lanjutkan dari contoh soal 1 di atas dengan persamaan \( x(t) = 0{,}05 \cos\left(4\pi t + \frac{\pi}{3}\right) \). Tentukanlah kecepatan dan percepatan partikel tersebut tepat pada saat awal (\(t = 0\))!

Penyelesaian:
Telah diketahui: \(A = 0{,}05\), \(\omega = 4\pi\), dan sudut fase \( \phi = \frac{\pi}{3} \).

Menghitung Kecepatan (\(v\)) saat \(t = 0\): \[ v(0) = -A \omega \sin(\phi) \] \[ v(0) = -0{,}05 \cdot (4\pi) \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \] Karena \(\sin(60^\circ) = \frac{1}{2}\sqrt{3}\) atau \(\approx 0{,}866\): \[ v(0) = -0{,}2\pi \cdot \left(\frac{1}{2}\sqrt{3}\right) = -0{,}1\pi\sqrt{3} \, \text{m/s} \] Jika \(\pi \approx 3{,}14\): \[ v(0) \approx -0{,}05 \times 12{,}56 \times 0{,}866 \approx -0{,}544 \, \text{m/s} \] Menghitung Percepatan (\(a\)) saat \(t = 0\): \[ a(0) = -\omega^2 \cdot x(0) \] (Ingat, di soal 1 kita sudah menghitung \(x(0) = 0{,}025 \, \text{m}\)). \[ a(0) = -(4\pi)^2 \cdot 0{,}025 \] \[ a(0) = -16\pi^2 \cdot 0{,}025 \] \[ a(0) = -0{,}4\pi^2 \, \text{m/s}^2 \] Jika \(\pi^2 \approx 9{,}86\): \[ a(0) \approx -0{,}4 \times 9{,}86 \approx -3{,}95 \, \text{m/s}^2 \]