Latihan Soal Olimpiade Fisika SMA: Mekanika Newtonian
1. Orang dalam Lift Dipercepat
Seorang pria dengan berat \(w\) berada di dalam sebuah lift yang memiliki berat \(w\). Lift tersebut dipercepat vertikal ke atas dengan percepatan \(a\) dan pada suatu saat tertentu memiliki kecepatan \(V\).
(a) Berapakah berat semu pria tersebut?
(b) Pria tersebut memanjat sebuah tangga vertikal di dalam lift dengan kecepatan \(v\) relatif terhadap lift. Berapakah laju pengeluaran energi (keluaran daya) pria tersebut?
( Wisconsin )
Solusi:
(a) Berat semu pria tersebut adalah
\[F = w + \frac{w}{g}a = w \left(1 + \frac{a}{g}\right) ,\]dengan \(g\) adalah percepatan gravitasi.
(b) Laju pengeluaran energi pria tersebut adalah
\[F v_t = w \left(1 + \frac{a}{g}\right) (V + v) .\]2. Orbit Stasiun Luar Angkasa
Sebuah stasiun luar angkasa yang mengorbit diamati selalu berada tepat secara vertikal di atas titik yang sama di bumi. Di manakah posisi pengamat di bumi? Deskripsikan orbit stasiun luar angkasa tersebut selengkap mungkin.
( Wisconsin )
Solusi:
Pengamat harus berada di ekuator (khatulistiwa) bumi. Orbit stasiun luar angkasa tersebut merupakan sebuah lingkaran besar pada bidang ekuator dengan titik pusat yang berada di pusat bumi. Jari-jari orbit dapat dihitung menggunakan periode orbit 24 jam sebagai berikut. Misalkan jari-jari orbit adalah \(R\) dan jari-jari bumi adalah \(R_0\).
Kita dapatkan
\[\frac{mv^2}{R} = \frac{GMm}{R^2} ,\]dengan \(v\) adalah kelajuan stasiun luar angkasa, \(G\) adalah konstanta gravitasi universal, serta \(m\) dan \(M\) berturut-turut adalah massa stasiun luar angkasa dan massa bumi, sehingga memberikan
\[v^2 = \frac{GM}{R} .\]Karena
\[mg = \frac{GMm}{R_0^2} ,\]kita peroleh
\[GM = R_0^2 g .\]Oleh karena itu,
\[v^2 = \frac{R_0^2 g}{R} .\]Untuk gerak melingkar dengan kelajuan konstan \(v\), periode orbitnya adalah
\[T = \frac{2\pi R}{v} .\]Sehingga didapatkan
\[\frac{4\pi^2 R^2}{T^2} = \frac{R_0^2 g}{R}\]dan
\[R = \left( \frac{R_0^2 T^2 g}{4\pi^2} \right)^{\frac{1}{3}} = 4,2 \times 10^4 \text{ km} .\]3. Anak dalam Piringan Berputar
 |
| Gbr. 1.1 |
Di sebuah taman hiburan terdapat sebuah piringan horizontal yang berputar. Seorang anak dapat duduk di atasnya pada jari-jari berapa pun (Gbr. 1.1). Saat piringan mulai "dipercepat" (menambah kecepatan putaran), anak tersebut dapat tergelincir keluar jika gaya geseknya tidak mencukupi. Massa anak tersebut adalah 50 kg dan koefisien gesekan statisnya adalah 0,4. Kecepatan sudut piringan adalah 2 rad/s. Berapakah jari-jari maksimum \(R\) tempat ia dapat duduk dan tetap bertahan di atas piringan tersebut?
Solusi:
Pada keadaan kritis di mana anak tersebut tepat akan mulai tergelincir (gaya gesek statis maksimum bekerja), berlaku persamaan:
\[mR\omega^2 = \mu mg .\]Oleh karena itu, jari-jarinya adalah
\[R = \frac{\mu g}{\omega^2} = \frac{0,4 \times 9,8}{2^2} = 0,98 \text{ m} .\]Karena besarnya gaya sentrifugal sebanding dengan jari-jari, nilai ini merupakan jari-jari maksimum agar anak tersebut tidak tergelincir.
(Catatan Gambar: Gbr. 1.1 mengilustrasikan anak pada piringan putar dengan percepatan gravitasi \(g = 9,8 \text{ m/s}^2\), jari-jari \(R\), dan kecepatan sudut \(\omega\))
4. Sistem Katrol
Sebuah tali yang melewati katrol tanpa gesekan memiliki massa 9 kg yang diikatkan pada salah satu ujungnya dan massa 7 kg pada ujung lainnya (Gbr. 1.2). Tentukan percepatan sistem dan tegangan tali tersebut.
( Wisconsin )
Solusi:
Dengan mengabaikan momen inersia katrol, kita peroleh persamaan geraknya adalah
\[m_1\ddot{x} = m_1g - F\]dan
\[m_2\ddot{x} = F - m_2g .\]Oleh karena itu, tegangan tali dan percepatannya berturut-turut adalah
\[F = \frac{2m_1m_2g}{m_1 + m_2} = 77,2 \text{ N}\]dan
\[\ddot{x} = \frac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2} = \frac{2g}{16}\] \[= 1,225 \text{ m/s}^2 .\]5. Batu Bata Meluncur pada Bidang Miring
Sebuah batu bata diberi kelajuan awal \(5 \text{ ft/s}\) meluncur ke atas pada sebuah bidang miring dengan sudut \(30^\circ\) terhadap garis horizontal. Koefisien gesekan (kinetis maupun statis) adalah \(\mu = \sqrt{3}/12\). Setelah \(0,5 \text{ s}\), seberapa jauh batu bata tersebut dari posisi awalnya? Anda dapat menggunakan percepatan gravitasi \(g = 32 \text{ ft/s}^2\).
( Wisconsin )
Solusi:
Pilih sistem koordinat Kartesius seperti yang diilustrasikan pada Gbr. 1.3. Untuk \(\dot{x} > 0\) (fase di mana batu bata bergerak ke arah atas bidang miring), persamaan gerak dari batu bata tersebut berdasarkan Hukum II Newton adalah
\[m\ddot{x} = -mg \sin\theta - \mu mg \cos\theta ,\]sehingga percepatannya menjadi
\[\ddot{x} = -g(\sin\theta + \mu \cos\theta) = -\frac{5g}{8} .\]Waktu yang ditempuh batu bata selama bergerak ke atas (hingga kecepatannya nol sesaat di titik tertinggi) adalah
\[t_1 = \frac{\dot{x}_0}{-\ddot{x}} = \frac{5}{5g/8} = 0,25 \text{ s}\]dan jarak perpindahan batu bata tersebut ke atas adalah
\[x_1 = \dot{x}_0 t_1 + \frac{1}{2}\ddot{x}t_1^2 = \frac{5}{8} \text{ ft} .\]Untuk waktu \(t > t_1\), kecepatannya berbalik arah menjadi \(\dot{x} < 0\) (fase batu bata mulai meluncur turun) dan persamaan geraknya akan berubah menjadi
atau
\[\ddot{x} = -g(\sin\theta - \mu \cos\theta) = -\frac{3g}{8} .\]Perpindahan selama selang waktu \(t_1 = 0,25 \text{ s}\) hingga \(t_2 = 0,5 \text{ s}\) adalah
\[\Delta x = \ddot{x}\frac{t^2}{2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{3g}{8} \cdot \frac{1}{16} = -\frac{3}{8} \text{ ft} ,\]sehingga perpindahan batu bata pada saat \(t = 0,5 \text{ s}\) adalah
\[S = x_1 + \Delta x = 5/8 - 3/8 = 0,25 \text{ ft} .\]6. Efek Jatuh Menekuk Lutut
Seseorang bermassa 80 kg melompat dari ketinggian 1 meter dan dengan ceroboh lupa menekuk lututnya saat mendarat. Tubuhnya mengalami perlambatan dalam jarak yang hanya satu cm. Hitunglah gaya total pada kakinya selama perlambatan tersebut.
( Wisconsin )
Solusi:
Orang tersebut memiliki energi mekanik \(E_1 = mg(h + s)\) sesaat sebelum ia mendarat. Usaha yang dilakukan olehnya (secara ekuivalen, kerja yang dilakukan terhadapnya) selama perlambatan adalah \(E_2 = fs\), dengan \(f\) adalah gaya total pada kakinya. Karena energi kekal (\(E_1 = E_2\)),
\[f = \frac{mgh}{s} + mg = \left(\frac{80 \times 1}{0,01} + 80\right)g = 8080g \text{ N} .\]7. Roller Coaster
Sebuah massa \(M\) meluncur tanpa gesekan pada lintasan roller coaster yang ditunjukkan pada Gbr. 1.4. Bagian lintasan yang melengkung memiliki jari-jari kelengkungan \(R\). Massa tersebut mulai meluncur turun dari ketinggian \(h\). Pada suatu nilai \(h\) tertentu, massa tersebut akan mulai kehilangan kontak dengan lintasan. Tunjukkan pada diagram di mana massa tersebut kehilangan kontak dengan lintasan dan hitung nilai minimum \(h\) agar hal ini terjadi.
( Wisconsin )
Solusi:
Sebelum titik belok \(A\) pada lintasan, gaya reaksi normal dari lintasan terhadap massa, \(N\), adalah
\[N = \frac{mv^2}{R} + mg \sin\theta ,\]dengan \(v\) adalah kecepatan massa tersebut. Setelah melewati titik belok,
\[N + \frac{mv^2}{R} = mg \sin\theta ,\]di mana \(\sin\theta = \frac{R}{2R}\), atau \(\theta = 30^\circ\).
Massa tersebut kehilangan kontak dengan lintasan jika gaya normal \(N \le 0\). Kondisi ini hanya dapat terjadi pada bagian kedua lintasan dan hanya jika
\[\frac{mv^2}{R} \ge mg \sin\theta .\]Hukum kekekalan energi mekanik
\[mg[h - (R - R \sin\theta)] = \frac{1}{2}mv^2\]kemudian mensyaratkan
\[h - R + R \sin\theta \ge \frac{R \sin\theta}{2} ,\]atau
\[h \ge R - \frac{R \sin\theta}{2} .\]Titik paling awal di mana massa tersebut dapat mulai kehilangan kontak dengan lintasan adalah di titik A, yaitu saat \(\theta = 30^\circ\). Oleh karena itu, ketinggian minimum \(h\) yang dibutuhkan adalah \(\frac{3R}{4}\).
8. Escape Velocity
Tinjau sebuah planet bulat (sferis) yang berotasi. Kecepatan suatu titik di ekuatornya adalah \(V\). Efek dari rotasi planet tersebut menyebabkan nilai percepatan gravitasi \(g\) di ekuator menjadi \(1/2\) dari nilai \(g\) di kutub. Berapakah kecepatan lepas (escape velocity) untuk sebuah partikel di kutub planet tersebut, dinyatakan dalam kelipatan \(V\)?
( Wisconsin )
Solusi:
Misalkan \(g\) dan \(g'\) berturut-turut adalah percepatan gravitasi di kutub dan di ekuator, dan tinjau sebuah benda bermassa \(m\) di permukaan planet yang bermassa \(M\). Di kutub,
\[mg = \frac{GMm}{R^2} ,\]sehingga memberikan
\[GM = gR^2 .\]Di ekuator, gaya sentripetal mengurangi berat efektif, sehingga kita dapatkan persamaan
\[\frac{mV^2}{R} = \frac{GMm}{R^2} - mg' = mg - \frac{mg}{2} = \frac{mg}{2} .\]Oleh karena itu, \(g = 2V^2/R\).
Jika kita mendefinisikan energi potensial gravitasi relatif terhadap titik di tak terhingga dari planet tersebut, benda tersebut akan memiliki energi potensial sebesar
\[-\int_{\infty}^{R} -\frac{GMm}{r^2} dr = -\frac{GMm}{R} .\]Perhatikan bahwa tanda negatif di depan gaya gravitasi menunjukkan sifat gaya yang tarik-menarik. Benda yang berada di kutub tersebut kemudian memiliki energi total
\[E = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} .\]Agar benda dapat lepas dari tarikan gravitasi planet tersebut, energi totalnya harus setidaknya sama dengan energi minimum benda saat berada di jarak tak terhingga, yaitu nol. Oleh karena itu, kecepatan lepas (escape velocity) \(v\) diberikan oleh persamaan
\[\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = 0 ,\]atau
\[v^2 = \frac{2GM}{R} = 2gR = 4V^2 ,\]yaitu,
\[v = 2V .\]9. Jarak Terjauh Benda Terpental dari Sistem Berotasi
Sebuah benda bermassa kecil \(m\) diam di tepi sebuah piringan horizontal yang memiliki jari-jari \(R\); koefisien gesekan statis antara massa tersebut dan piringan adalah \(\mu\). Piringan tersebut diputar pada porosnya dengan kecepatan sudut tertentu sedemikian rupa sehingga massa tersebut tergelincir keluar dari piringan dan mendarat di lantai yang berada \(h\) meter di bawahnya. Berapakah jarak tempuh horizontal benda tersebut dihitung dari titik saat ia meninggalkan piringan?
( Wisconsin )
Solusi:
Gaya gesekan statis maksimum antara massa benda dan piringan adalah \(f = \mu mg\). Sesaat ketika massa kecil tersebut tergelincir keluar dari piringan, gaya sentripetalnya sama dengan gaya gesekan statis maksimumnya, sehingga kecepatan horizontalnya \(v\) diberikan oleh
\[\frac{mv^2}{R} = \mu mg .\]Sehingga diperoleh,
\[v = \sqrt{\mu Rg} .\]Waktu yang diperlukan benda untuk jatuh sejauh \(h\) dari keadaan diam (pada komponen kecepatan vertikalnya) adalah
\[t = \sqrt{\frac{2h}{g}} .\]Oleh karena itu, jarak tempuh horizontal sebelum mendarat di lantai adalah sebesar
\[vt = \sqrt{2\mu Rh} .\]10. Kelereng Memantul
Sebuah kelereng memantul menuruni tangga secara teratur, mengenai setiap anak tangga di tempat yang sama dan memantul dengan ketinggian maksimum yang sama di atas setiap anak tangga (Gbr. 1.5). Tinggi anak tangga sama dengan kedalamannya (tinggi anak tangga = lebar pijakan) dan koefisien restitusi \(e\) diketahui. Carilah kecepatan horizontal yang diperlukan dan tinggi pantulannya (koefisien restitusi didefinisikan sebagai \(e = -v_f/v_i\), dengan \(v_f\) dan \(v_i\) berturut-turut adalah komponen kecepatan vertikal sesaat setelah dan sebelum pantulan).
( Wisconsin )
Solusi:
Gunakan vektor satuan \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) seperti yang ditunjukkan pada Gbr. 1.5 dan misalkan kecepatan horizontal kelereng adalah \(v_h\). Kecepatan kelereng sesaat sebelum dan sesudah pantulan berturut-turut adalah
dan
\[\mathbf{v}_2 = v_h \mathbf{i} + v_f \mathbf{j} .\]Karena kondisi di setiap anak tangga tetap sama persis, maka \(v_i\), \(v_f\), dan \(v_h\) semuanya bernilai konstan. Hukum kekekalan energi mekanik
\[\frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}mv_2^2 + mgl\]memberikan persamaan
\[v_i^2 = v_f^2 + 2gl .\]Sesuai dengan definisi koefisien restitusi,
\[v_f = -ev_i ,\]sehingga persamaan di atas dapat ditulis menjadi
\[v_i^2 = \frac{2gl}{1 - e^2} .\]Waktu yang dibutuhkan untuk setiap pantulan (dari satu pijakan ke pijakan berikutnya) adalah
\[t = \frac{v_i - v_f}{g} = \frac{l}{v_h} ,\]sehingga memberikan
\[v_h = \frac{gl}{v_i - v_f} = \frac{gl}{(1 + e)v_i} = \sqrt{\frac{gl}{2} \frac{1 - e}{1 + e}} ,\]yang mana nilai tersebut merupakan kecepatan horizontal yang diperlukan. Tinggi pantulan maksimum \(H\) didapatkan melalui hukum kekekalan energi mekanik pada titik tertingginya,
\[\frac{mv_f^2}{2} = mgH .\]Oleh karena itu,
\[H = \frac{v_f^2}{2g} = \frac{e^2}{2g} \frac{2gl}{1 - e^2} = \frac{e^2l}{1 - e^2} .\]